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Der Sinussatz

Der Sinussatz wird in der Trigonometrie genauso wie der Kosinussatz genutzt, um Verhältnisse zwischen den Seitenlängen und Winkelgrößen in Dreiecken herzustellen. Weitere wichtige trigonometrische Funktionen sind Tangens und Cotangens, die Sinus und Cosinus zu einander in Verhältnis setzen.

Herleitung

Der Sinussatz beruht auf den Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck. Jedes Dreieck lässt in in solch zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen, in dem eine Höhe in das Dreieck eingezeichnet wird. Angenommen, die Höhe H(c) auf die Seite c wird für die Winkelberechnung genutzt und bildet auf ihr zwei rechte Winkel. Dann gilt laut Winkelfunktionen:

(1) sin alpha = h(c)/b
(2) sin beta = h(c)/a

Umstellen nach h(c) ergibt:

(3) h(c) = sin alpha/a = sin beta/b

Analog hierzu lässt sich zeigen:

(4) h(b) = sin alpha/a = sin gamma/c
(5) h(a) = sin beta/b = sin gamma/c

Also insgesamt:

(7) sin alpha/a = sin beta/b sin gamma/c

Eben dies ist die Aussage des Sinussatzes.

Anwendung

Der Sinussatz lässt sich nutzen, um bei bestimmten Vorgaben die Länge einer Seite oder die Größe eines Winkels zu bestimmen.
Für die Berechnung der Länge einer Seite mit Hilfe des Sinussatzes müssen der zugehörige Winkel sowie eine weitere Seite mit ihrem zugehörigen Winkel gegeben sein. Angenommen, a, alpha und beta sind bekannt. Dann lässt sich durch Umstellen die Länge der Seite b folgendermaßen bestimmen:

(8) b = sin beta*a/sin alpha

Analog gilt diese Variante des Sinussatzes für alle weiteren Zusammensetzungen der Vorgaben aus zwei Seiten und einem dazugehörigen Winkel.

Für die Berechnung der Größe eines Winkels mit Hilfe des Sinussatzes müssen die zugehörige Seite sowie eine weitere Seite mit ihrem zugehörigen Winkel gegeben sein. Angenommen, a, alpha und b sind bekannt. Dann lässt sich durch Umstellen die Größe des Winkels beta bestimmen:

(9) sin beta = sin alpha*b/a

Analog gilt diese Variante des Sinussatzes für alle weiteren Zusammensetzungen der Vorgaben aus zwei Winkeln und einer dazugehörigen Seite.

Ausnahme

Zu beachten ist, dass im Intervall zwischen 0° und 180° zwei Winkel mit dem selben Sinuswert existieren. Im Normalfall kann mit dem Sinussatz die vierte Größe bei den gegebenen anderen dreien bestimmt werden. Eine Ausnahme gibt es jedoch: Sind die kürzeste Seite, der kleinste Winkel und eine weitere Seite gegeben, existieren für den fehlenden Winkel zwei Lösungen.

Welche die korrekte ist, lässt sich nur an Hand weiterer Vorgaben, wie der eines weiteren Winkels, einer weiteren Seite oder einer grafischen Darstellung bestimmen.

Weitere wichtige trigonometrische Funktionen sind der Tangenssatz und Cotangens, die Sinus und Cosinus zu einander in Verhältnis setzen. Auch der Kosinussatz wird in der Trigonometrie genutzt, um Verhältnisse zwischen den Seitenlängen und Winkelgrößen in Dreiecken herzustellen.